番外篇For：Gamebryo材质系统
作者:volfmath 日期:2010-05-30
虽然叫For Gamebryo材质系统，但其实跟他一点关系都没有。番外篇讲点多年来总结的数学知识，很多都是自己的YY。欢迎拍砖。本篇会长期更新。不过为了跟材质系统相关，我会先讲射影几何学，微分几何，线性代数的一点浅见。
1.坐标变换&仿射空间
本人不是科班出身，属于半道出家。计算机图形学小读过几本，幸好有个怪癖喜欢数学。今天才得以让那些深奥难懂的计算机只是重见天日。
其实本质的东西都是很浅显的，但是日子久了形成了一门学问。装逼犯就多了。他们开始喜欢用术语欺骗人。特别是中国大多数教授，本事没学多少，术语倒是一箩筐。所以建议翻译的书少看为好，或者拿来一本一看很多不懂的术语，那通常是烂书。数学上有个operator，翻译到中文叫“算子”。我愣是学了两年才明白这个词的意思。害人不浅啊。计算机也没好哪里去。长度都能说成“欧几里德范数”。我无语。
我大学时候读过2，3本计算机图形学书，一本是本科生教材，一本是3D游戏中的数学，还有本大部头的3D图形学卷1，好象是。每次以讲到变换都要说，我们把变换矩阵加一行，加一列就可以做变换了。
这对刚刚学过线性代数的人很不能理解。我们通常觉得，一个3维矩阵就表示了3维空间。其实这个概念也是稀里糊涂的。好，就这样认为吧。那么为什么在3维空间里坐标换要用到一个4×4的矩阵啊。不奇怪么？
1.坐标变换&仿射空间
本人不是科班出身，属于半道出家。计算机图形学小读过几本，幸好有个怪癖喜欢数学。今天才得以让那些深奥难懂的计算机只是重见天日。
其实本质的东西都是很浅显的，但是日子久了形成了一门学问。装逼犯就多了。他们开始喜欢用术语欺骗人。特别是中国大多数教授，本事没学多少，术语倒是一箩筐。所以建议翻译的书少看为好，或者拿来一本一看很多不懂的术语，那通常是烂书。数学上有个operator，翻译到中文叫“算子”。我愣是学了两年才明白这个词的意思。害人不浅啊。计算机也没好哪里去。长度都能说成“欧几里德范数”。我无语。
我大学时候读过2，3本计算机图形学书，一本是本科生教材，一本是3D游戏中的数学，还有本大部头的3D图形学卷1，好象是。每次以讲到变换都要说，我们把变换矩阵加一行，加一列就可以做变换了。
这对刚刚学过线性代数的人很不能理解。我们通常觉得，一个3维矩阵就表示了3维空间。其实这个概念也是稀里糊涂的。好，就这样认为吧。那么为什么在3维空间里坐标换要用到一个4×4的矩阵啊。不奇怪么？
关于代数的一切：一
作者:volfmath 日期:2010-03-30
很多童鞋觉得几何比代数好学，其实上学那时我也有这样的感觉。最值得骄傲的一次是初中数学竞赛，我记得当时一道几何题全省不到10个人做出来，然后我居然是其中之一，哈哈。当时对平面几何还是很有研究的。
但是现在我发现很多事情并不是想象中这样。几何学起来非常困难了反倒是，代数我看看书做做题尚能跟得上，但几何总是不开窍。究其缘由，我觉得我应该去课堂听课，我觉得几何这种非常依赖直觉的东西必须身临其境的去听才能有感觉，知道他一步一步构造的过程，可惜我现在没有这样的条件。
好吧，只能说说代数了。首先我觉得抽象代数是门很有意思的学科。很迷人。至于我们是怎么被迷上的，这可能要讲到早期的一本启蒙书记，其实不算是数学教科书，只是一本课外读物叫数学的故事，然后就要提到一个传奇的人物，伽罗瓦。学过代数的同学们对他生平的了解应该比我多得多。关于他的贡献，首先是5次方程的根式解。我觉得中学一直到大学很奇怪的是，没有正经的教科书上讲到过超过3次的方程解法。其实人类在解出2次方程以后，就是韦达定理以后，经历了一个漫长的时间，人类开始研究3次及高次方程的解法。数学的故事也有这段介绍，是有些非常有意思的故事，可以找些书来看看。再往后，3次方程有了通解后4次方程没费多大劲就有了解法。再然后就如你知道的那样，为了5次方程，数学界损失两位璀璨的新星：阿贝尔和伽罗瓦。
其实群不是伽罗瓦最先提出的，但是天才的他最早认识到了伽罗瓦群。当然5次方程没有根式解的证明，在这里不是不是我一句话能说清的。当然关于伽罗瓦的贡献各有各的说法，很多人觉得伽罗瓦提出了同构的概念，而同构在数学上是非常重要的概念，怎么称赞他都不会过。没有同构，拓扑就没有同胚，整个拓扑的基础都没有，没有同构，连实数都定义不了，到底是以戴德金的模型为准还是康托尔呢？可能还在争论中哦，可是有了同构，就好解释了，谁也不用争执了，他们的模型是同构的。
但是现在我发现很多事情并不是想象中这样。几何学起来非常困难了反倒是，代数我看看书做做题尚能跟得上，但几何总是不开窍。究其缘由，我觉得我应该去课堂听课，我觉得几何这种非常依赖直觉的东西必须身临其境的去听才能有感觉，知道他一步一步构造的过程，可惜我现在没有这样的条件。
好吧，只能说说代数了。首先我觉得抽象代数是门很有意思的学科。很迷人。至于我们是怎么被迷上的，这可能要讲到早期的一本启蒙书记，其实不算是数学教科书，只是一本课外读物叫数学的故事，然后就要提到一个传奇的人物，伽罗瓦。学过代数的同学们对他生平的了解应该比我多得多。关于他的贡献，首先是5次方程的根式解。我觉得中学一直到大学很奇怪的是，没有正经的教科书上讲到过超过3次的方程解法。其实人类在解出2次方程以后，就是韦达定理以后，经历了一个漫长的时间，人类开始研究3次及高次方程的解法。数学的故事也有这段介绍，是有些非常有意思的故事，可以找些书来看看。再往后，3次方程有了通解后4次方程没费多大劲就有了解法。再然后就如你知道的那样，为了5次方程，数学界损失两位璀璨的新星：阿贝尔和伽罗瓦。
其实群不是伽罗瓦最先提出的，但是天才的他最早认识到了伽罗瓦群。当然5次方程没有根式解的证明，在这里不是不是我一句话能说清的。当然关于伽罗瓦的贡献各有各的说法，很多人觉得伽罗瓦提出了同构的概念，而同构在数学上是非常重要的概念，怎么称赞他都不会过。没有同构，拓扑就没有同胚，整个拓扑的基础都没有，没有同构，连实数都定义不了，到底是以戴德金的模型为准还是康托尔呢？可能还在争论中哦，可是有了同构，就好解释了，谁也不用争执了，他们的模型是同构的。
讲讲学拓扑的心得吧
作者:volfmath 日期:2010-02-27
先讲讲我用的书吧，北大尤老师的那本红书和熊金城《点集拓扑讲义》，另外一本Armstrong的拓扑学。个人觉得尤的书跟熊的那本比还是不太好，熊的那本至少在点集拓扑上讲的算是非常好了，由于我的水平有限，目前也就懂点点集拓扑的东西，对代数拓扑还模模糊糊。。。Armstrong的那本非常不错，重点推荐。特别是Hausdorff空间那块讲的非常不错。另外这本拓扑学是UTM套书之一，也可以从一个侧面看出他的价值。
一个优秀的科学工作者，会把复杂抽象的东西说的很平民化。而一个三流的科学从业人员，象我国的大部分高校教师往往会把一个简单的问题说的复杂，这就是差距。其实我们经常在给别人讲一个问题的时候也常常遇到，究其缘由就是对知识理解的不深刻。当你透彻的掌握一个问题的时候，你就会旁征博引，分析的非常透彻。
Armstrong就是这样的一个大家，虽然拓扑学严谨形式化的东西很多很多，但在Armstrong的笔下显得生动有趣，第十章虚拟的一段代数学家和几何学家的对话也表现出作者更加注重对几何直观的认识，而避免落入纷繁的代数细节中去。
第一章从Euler定理讲起，谈到欧拉示性数。然后从很多拓扑不变性的难以计算向我们展示了引入拓扑的动机。后面一章自然而然的提到了连通性，比较复杂的地方是新手对紧致性的理解。这是因为我们生活的空间太完美了，Hausdorff, 局部紧致, 单连通，完备，还有一套线性代数结构，良好定义的度量，范数，与内积。太美的，以至于我们对很多理所当然的东西产生了惯性，或者说是一种审美疲劳。我始终觉得紧致是上帝送给我们的礼物。掌握了紧致对拓扑也就有个大概的认识了。
再后面是从代数角度入手，从基本群角度对拓扑空间进行刻画。虽然依赖直观，但是有了群，我们就能更好的描述拓扑不变性了。末尾是一个比较难处理的地方。因为同调群从引入到几个重要定理的证明，其中涉及了一个比较长的动机不明显的准备过程，往往使我们觉得太过于抽象，而对拓扑本身是去兴趣，这个地方一定要多加小心，过了这关，后面有很多有趣的应用在等着我们呢。Armstrong这里处理的还算不错，他尽可能的再几何直观和抽象概念之间做了一个权衡。
从同调论开始，后面的学习过程可谓是进入了一个崭新的领域，有了这些基础可以进入后续课程的学习了。但是同调这里如果下笔过多会改变本书的宗旨和方向，毕竟这只是一本基础书，还不是GTM，所以Armstrong老师也尽量克制了这点。不管怎么说，这绝对是本拓扑学入门的好书，最后建议看英文版的。因为这本中文的书个人认为翻译的不算太好。
一个优秀的科学工作者，会把复杂抽象的东西说的很平民化。而一个三流的科学从业人员，象我国的大部分高校教师往往会把一个简单的问题说的复杂，这就是差距。其实我们经常在给别人讲一个问题的时候也常常遇到，究其缘由就是对知识理解的不深刻。当你透彻的掌握一个问题的时候，你就会旁征博引，分析的非常透彻。
Armstrong就是这样的一个大家，虽然拓扑学严谨形式化的东西很多很多，但在Armstrong的笔下显得生动有趣，第十章虚拟的一段代数学家和几何学家的对话也表现出作者更加注重对几何直观的认识，而避免落入纷繁的代数细节中去。
第一章从Euler定理讲起，谈到欧拉示性数。然后从很多拓扑不变性的难以计算向我们展示了引入拓扑的动机。后面一章自然而然的提到了连通性，比较复杂的地方是新手对紧致性的理解。这是因为我们生活的空间太完美了，Hausdorff, 局部紧致, 单连通，完备，还有一套线性代数结构，良好定义的度量，范数，与内积。太美的，以至于我们对很多理所当然的东西产生了惯性，或者说是一种审美疲劳。我始终觉得紧致是上帝送给我们的礼物。掌握了紧致对拓扑也就有个大概的认识了。
再后面是从代数角度入手，从基本群角度对拓扑空间进行刻画。虽然依赖直观，但是有了群，我们就能更好的描述拓扑不变性了。末尾是一个比较难处理的地方。因为同调群从引入到几个重要定理的证明，其中涉及了一个比较长的动机不明显的准备过程，往往使我们觉得太过于抽象，而对拓扑本身是去兴趣，这个地方一定要多加小心，过了这关，后面有很多有趣的应用在等着我们呢。Armstrong这里处理的还算不错，他尽可能的再几何直观和抽象概念之间做了一个权衡。
从同调论开始，后面的学习过程可谓是进入了一个崭新的领域，有了这些基础可以进入后续课程的学习了。但是同调这里如果下笔过多会改变本书的宗旨和方向，毕竟这只是一本基础书，还不是GTM，所以Armstrong老师也尽量克制了这点。不管怎么说，这绝对是本拓扑学入门的好书，最后建议看英文版的。因为这本中文的书个人认为翻译的不算太好。
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